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Download PDF by Otto Forster: Analysis 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik proper sind. Der textual content wurde für die 7. Auflage weiter überarbeitet und es kamen einige neue Aufgaben und Abbildungen sowie ein Symbolverzeichnis hinzu.

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X Yk −→ ∗ z =⇒ lim z∗ (Yk ) = z∗ (X ). k→f Diese Eigenschaft werden wir zur Fortsetzung des Pr¨amaßes ausnutzen. Dazu f¨uhren wir den Begriff der A-approximierbaren Mengen ein. Deſnition. Sei A ⊂ P(:) ein Mengenring, z : A → R+ ein Pr¨amaß und z∗ : P(:) → R+ das zugeh¨orige a¨ ußere Maß. Eine Teilmenge X ⊂ : heißt A-approximierbar (bzgl. z∗ ), falls zu jedem H > 0 ein A ∈ A existiert mit z∗ (X A) < H. Mit den oben eingef¨uhrten Bezeichnungen l¨asst sich das auch so ausdr¨ucken: X ∈ P(:) ist genau dann A-approximierbar, wenn es eine Folge von Mengen Ak ∈ A, k 1, gibt mit Ak −→ X.

Dann gilt FA∪B = FA + FB , woraus folgt Z A∪B Mdz = Z A Mdz + Z B Mdz, also Q(A ∪ B) = Q(A) + Q(B). iii) Es ist noch zu zeigen, dass Q stetig von unten ist (§ 2, Satz 1). Sei Ak ∈ A, k 1, eine Folge mit Ak ↑ A. Daraus folgt FAk ↑ FA , also auch FAk M ↑ FA M. d. 1. Sei (:, A, z) ein Maßraum mit z(:) < f und f : : → R eine messbare, beschr¨ankte Funktion, und zwar gelte A f (x) < B f¨ur alle x ∈ : mit Konstanten A, B ∈ R. Sei A = t0 < t 1 < . . < t m = B eine Unterteilung des Intervalls [A, B] und [k ∈ [tk−1 ,tk ] eine beliebige Zwischenstelle.

M k=1 m k=1 m Andrerseits ist z˜ (X ) = sup z˜ m (Xm ) = sup z∗ (Xm ) m m z∗ (X ). Beide Ungleichungen zusammen ergeben z∗ (X ) = z˜ (X ). Damit ist 1) bewiesen. 2) Wir zeigen jetzt, dass z˜ additiv ist. Seien X ,Y ∈ B punktfremd und Xm := X ∩ :m , Ym := Y ∩ :m . Nach Deſnition gilt z˜ m (Xm ) ↑ z˜ (X ), z˜ m (Ym ) ↑ z˜ (Y ) und z˜ m (Xm ∪Ym ) ↑ z˜ (X ∪Y ). Da z˜ m ein Maß ist, gilt z˜ m (Xm ∪Ym ) = z˜ m (Xm ) + z˜ m (Ym ). h. z˜ ist additiv, also ein Inhalt. h. ein Maß. Damit ist Satz 7 vollst¨andig bewiesen.

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