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Uwe Storch, Hartmut Wiebe's Arbeitsbuch zur Analysis einer Veränderlichen: Aufgaben und PDF

By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über research einer Veränderlichen gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der research einer Veränderlichen bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Viele der Aufgaben sind dem ersten Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe, das ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist, entnommen; eine ganze Reihe ist aber auch neu.

Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen angefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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14. Zum Beweis dieser Formel sei a ein festes Element der Menge A mit |A| = i > 0 Elementen. Die Äquivalenzrelationen auf A entsprechenden bijektiv den Paaren (X, R), wo X ⊆ A eine Teilmenge mit a ∈ X ist und R eine Äquivalenzrelation auf dem Komplement A−X. i −1 i −1 Bei gegebenem X mit j := |A−X| ≤ i− 1 gibt es βj solche Paare. Da es i −1− j = j Teilmengen X ⊆ A mit a ∈ X und |A− X| = j gibt, erhält man die angegebene Formel für βi . Die Rekursion besagt, dass exp(ex − 1) die exponentielle erzeugende Funktion der Folge (βn )n∈N ∞ βn n ist, also exp(ex −1) = x , vgl.

Benutzt man standardmäßig den Datentyp unsigned int (womit allerdings der verfügbare Zahlenraum stärker eingeschränkt wird), so hat man unsigned long in den Zeilen 04,07,08 durch unsigned int zu ersetzen und %lu in den Zeilen 06,14,21 durch %u. Mit den Zeilen 07 und 08 wird der Speicherplatz für die Feldvariablen bell[0], . . , bell[n] bzw. bin[0], . . , bin[n] reserviert. In der for-Schleife der Zeilen 15 bis 22 sind zu Beginn des i-ten Durchlaufs, i = 1, . . , n(= N), die Variablen bell[0], .

Es gelte an x n + · · · + a1 x + a0 = 0 mit a0 , . . h. x sei Nullstelle der Polynomfunktion an t n + · · · + a0 . Dann ist a ein Teiler von a0 und b ein Teiler von an . Insbesondere ist x ∈ Z, wenn der höchste Koeffizient an = 1 ist ( L e m m a v o n G a u ß ) . Lösung Nach Voraussetzung gilt a a n a n−1 an + an−1 + · · · + a1 + a 0 = 0 , b b b n n−1 n−1 n also an a + an−1 a b + · · · + a1 ab + a0 b = 0. h. a teilt −a0 bn und b teilt −an a n . Da • a und b teilerfremd sind, muss dann a ein Teiler von a0 und b ein Teiler von an sein.

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